6.4 幂级数
6 级 数 · 共 38 题
第1题求解题
1．求下列幂级数的收敛半径和收敛域．
（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n(n+1)} x^{n}$ 或 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n^{2}} x^{n}$ 。华南理工 2014，苏州科技 2012，武汉大学 1999，山西师大 2008）
（2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{-n^{2}} x^{n}$ ．
（3）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}}$ ．
（4）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{1}{2^{2}}+\cdots+\frac{1}{n^{2}}\right) x^{n}$ 。
（5）$\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty}\left(\frac{\ln n}{n^{3}}+\frac{1}{n \ln n}\right) x^{n}$ ．
（6）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln (n+1)}{n^{\alpha+\frac{1}{n}}} x^{n}(\alpha>0)$ 。北京师大 2003）
（7）$\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{\ln (n!)} x^{n}$ ．
（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n(n+1)} x^{n}$ 或 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n^{2}} x^{n}$ 。华南理工 2014，苏州科技 2012，武汉大学 1999，山西师大 2008）
（2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{-n^{2}} x^{n}$ ．
（3）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}}$ ．
（4）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{1}{2^{2}}+\cdots+\frac{1}{n^{2}}\right) x^{n}$ 。
（5）$\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty}\left(\frac{\ln n}{n^{3}}+\frac{1}{n \ln n}\right) x^{n}$ ．
（6）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln (n+1)}{n^{\alpha+\frac{1}{n}}} x^{n}(\alpha>0)$ 。北京师大 2003）
（7）$\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{\ln (n!)} x^{n}$ ．
重庆大学 2002天津工业大学 2005湖南师范大学 2009西北师范大学 2009中国科学院 2012安徽师大 2012云南师大 2014
第2题求解题
2．求下列幂级数的收敛半径和收敛域．
（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^{n}+(-2)^{n}}{n}(x+1)^{n}$ ．
（2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\left(3+(-1)^{n}\right)^{n}}{n} x^{n}$ ．
（3）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n-3^{2 n}} x^{2 n}$ ．
（4）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(y\left(\frac{1}{n}\right)-1-\frac{1}{n}\right) x^{n}$ ，其中 $\displaystyle y=y(x)$ 满足 $\displaystyle y^{\prime}=x+y$ 且 $\displaystyle y(0)=1$ ．
（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^{n}+(-2)^{n}}{n}(x+1)^{n}$ ．
（2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\left(3+(-1)^{n}\right)^{n}}{n} x^{n}$ ．
（3）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n-3^{2 n}} x^{2 n}$ ．
（4）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(y\left(\frac{1}{n}\right)-1-\frac{1}{n}\right) x^{n}$ ，其中 $\displaystyle y=y(x)$ 满足 $\displaystyle y^{\prime}=x+y$ 且 $\displaystyle y(0)=1$ ．
华东理工大学 2000山东大学 2000天津大学 2002华南师大 2004山西大学 2004重庆大学 2004上海师范大学 2006温州大学 2007
+3
第3题求解题
3．求下列幂级数的收玫域．
（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{2^{n}}\left(\frac{x-1}{2 x+1}\right)^{n^{2}}$ ．
（2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n}}{n \sqrt[n]{n}}\left(\frac{x}{1+2 x}\right)^{n}$ ．
（3）$\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}\left(\sin \frac{1}{3 n}\right)\left(\frac{3+x}{3-2 x}\right)^{n}$ ．
（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{2^{n}}\left(\frac{x-1}{2 x+1}\right)^{n^{2}}$ ．
（2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n}}{n \sqrt[n]{n}}\left(\frac{x}{1+2 x}\right)^{n}$ ．
（3）$\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}\left(\sin \frac{1}{3 n}\right)\left(\frac{3+x}{3-2 x}\right)^{n}$ ．
上海理工 2003兰州大学 2004武汉大学 2006
第4题求解题
4．求解下列问题．
（1）设数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 为 $\displaystyle a_{1} \neq 0$ ，公比为 $\displaystyle q, q \in(0,2)$ 的等比数列，求幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 的收玫半径及级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+a_{n}}{2^{n}}$ 的和．
（2）设 $\displaystyle \sum_{n=1}^{x} a_{n}\left(\frac{x-1}{2}\right)^{n}$ 在 $\displaystyle x=-2$ 处条件收玫，求其收玫半径．
（1）设数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 为 $\displaystyle a_{1} \neq 0$ ，公比为 $\displaystyle q, q \in(0,2)$ 的等比数列，求幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 的收玫半径及级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+a_{n}}{2^{n}}$ 的和．
（2）设 $\displaystyle \sum_{n=1}^{x} a_{n}\left(\frac{x-1}{2}\right)^{n}$ 在 $\displaystyle x=-2$ 处条件收玫，求其收玫半径．
东南大学 2003广西民族大学 2009
第5题求解题
5．求下列幂级数的和函数或数项级数的和．
（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n(x-a)^{n-1} \cdot(a=1$ ：浃西师大 2009 ，西安交大 2010 ，北航 2001，东南大学 2005；$\displaystyle a=2$ ；海南师大 2012；$\displaystyle a=0$ ：北京大学 1996，桂林电子科技 2009，昆明理工 2013）
（2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n(x-a)^{n}$ ．
（3）$\displaystyle \left(\sum_{n=1}^{\infty} q^{n}\right)^{2}-\sum_{n=1}^{\infty}(n+1) q^{n},(|q|<1)$ ．
．
（4）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(n+1) x^{n}$ ．
（5）$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}(3 n+5) x^{n}$ ．
（6）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(2 n+1) x^{n}$ ．
（7）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n x^{2 n+1} \cdot$ ．
（8）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n x^{3 n-1}$ ．
（9）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2 n+1}{2^{n}} x^{2 n+1}:$
（10）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2 n-1}{2^{n}} x^{2 n-2}$ ．
（11）求数项级数的和：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^{n}} ; \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2 n+1}{3^{n}} ; \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{3^{n}} \cdot 2^{n} ; \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{3^{n}} \cdot(-1)^{n} ; \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2 n-1}{2^{n}}$ ．
（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n(x-a)^{n-1} \cdot(a=1$ ：浃西师大 2009 ，西安交大 2010 ，北航 2001，东南大学 2005；$\displaystyle a=2$ ；海南师大 2012；$\displaystyle a=0$ ：北京大学 1996，桂林电子科技 2009，昆明理工 2013）
（2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n(x-a)^{n}$ ．
（3）$\displaystyle \left(\sum_{n=1}^{\infty} q^{n}\right)^{2}-\sum_{n=1}^{\infty}(n+1) q^{n},(|q|<1)$ ．
．
（4）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(n+1) x^{n}$ ．
（5）$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}(3 n+5) x^{n}$ ．
（6）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(2 n+1) x^{n}$ ．
（7）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n x^{2 n+1} \cdot$ ．
（8）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n x^{3 n-1}$ ．
（9）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2 n+1}{2^{n}} x^{2 n+1}:$
（10）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2 n-1}{2^{n}} x^{2 n-2}$ ．
（11）求数项级数的和：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^{n}} ; \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2 n+1}{3^{n}} ; \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{3^{n}} \cdot 2^{n} ; \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{3^{n}} \cdot(-1)^{n} ; \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2 n-1}{2^{n}}$ ．
北京大学 1999北京理工大学 1999天津大学 2000浙江大学 2000北京交大 2001北京航空航天大学 2001上海财经大学 2002北京交大 2003
+26
第6题求解题
6．求下列幂级数的和函数或数项级数的和．
（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n(n+1) x^{n}$ 。
（2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n^{2} x^{n-1}$ 或 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}(n+1)^{2} x^{n}$ ．
（3）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n^{2} x^{n}$ 或 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} n^{2} x^{n}$
（4）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n(n+2) x^{n} \cdot$ ．
（5）$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\left(n^{2}+1\right) 3^{n} x^{n}$ ．
（6）$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\left(n^{2}+n+1\right) t^{n}$ 或 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\left(n^{2}+n+1\right) x^{n}$ ．
（7）求 数 项 级 数 的 和．$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}}{(1+a)^{n}} ; \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{n^{2}}{2^{n-1}} ; \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}+1}{3^{n}} ; \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n(n+2)}{3^{n}} ; \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n} n(n+1)}{2^{2 n}} ; \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}+n+1}{2^{n}} ; \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}\left(n^{2}-n+1\right)}{2^{n}}$ ．
（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n(n+1) x^{n}$ 。
（2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n^{2} x^{n-1}$ 或 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}(n+1)^{2} x^{n}$ ．
（3）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n^{2} x^{n}$ 或 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} n^{2} x^{n}$
（4）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n(n+2) x^{n} \cdot$ ．
（5）$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\left(n^{2}+1\right) 3^{n} x^{n}$ ．
（6）$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\left(n^{2}+n+1\right) t^{n}$ 或 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\left(n^{2}+n+1\right) x^{n}$ ．
（7）求 数 项 级 数 的 和．$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}}{(1+a)^{n}} ; \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{n^{2}}{2^{n-1}} ; \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}+1}{3^{n}} ; \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n(n+2)}{3^{n}} ; \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n} n(n+1)}{2^{2 n}} ; \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}+n+1}{2^{n}} ; \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}\left(n^{2}-n+1\right)}{2^{n}}$ ．
南京大学 1996北京理工大学 2000山东大学 2000陕西师范大学 2000中山大学 2001山东大学 2001云南大学 2002北京工业大学 2003
+38
第7题求解题
7．求下列幂级数的和函数或数项级数的和．
（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} x^{n}$ 或 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} x^{n}$ ．
（2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n \cdot 3^{n}}(x-a)^{n}$ ．（桂林电子科技 2010／2007（ $\displaystyle a=3$ ），徐州师 大2009（ $\displaystyle a=1$ ））
（3）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n \cdot 2^{n}} x^{n+1}$ ．
（4） $\displaystyle 1+\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{x^{2 n}}{2 n}$ ．
（5）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n \cdot 8^{n}}(3 x-1)^{3 n}$ ．
（6）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{2 n+1}{n} x^{2 n}$ ．
（7）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}(x-a)^{n-1} \cdot(a=0$ ：徐州师大 2008，南京理工 2010，北京交大 2003，扬州大学 2004，聊城大学 2010／2009；$\displaystyle a=1$ ：哈工大 2006）
（8）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n \cdot 2^{n}} x^{n-1}$ ．
（9）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} x^{2 n-1}$ 或 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} x^{2 n-2}$ ．
（10）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n+1} x^{n}$ ．
（11）求数项级数的和：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n} ; \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^{n} n} ; \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} \frac{1}{2^{n}} ; \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\mathrm{e}^{-n}}{n+1} ; \sum_{k=1}^{\infty}\left[\frac{(-1)^{k}}{2 k}+\frac{1}{(2 k)^{2}-1}\right]$ ．
（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} x^{n}$ 或 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} x^{n}$ ．
（2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n \cdot 3^{n}}(x-a)^{n}$ ．（桂林电子科技 2010／2007（ $\displaystyle a=3$ ），徐州师 大2009（ $\displaystyle a=1$ ））
（3）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n \cdot 2^{n}} x^{n+1}$ ．
（4） $\displaystyle 1+\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{x^{2 n}}{2 n}$ ．
（5）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n \cdot 8^{n}}(3 x-1)^{3 n}$ ．
（6）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{2 n+1}{n} x^{2 n}$ ．
（7）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}(x-a)^{n-1} \cdot(a=0$ ：徐州师大 2008，南京理工 2010，北京交大 2003，扬州大学 2004，聊城大学 2010／2009；$\displaystyle a=1$ ：哈工大 2006）
（8）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n \cdot 2^{n}} x^{n-1}$ ．
（9）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} x^{2 n-1}$ 或 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} x^{2 n-2}$ ．
（10）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n+1} x^{n}$ ．
（11）求数项级数的和：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n} ; \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^{n} n} ; \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} \frac{1}{2^{n}} ; \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\mathrm{e}^{-n}}{n+1} ; \sum_{k=1}^{\infty}\left[\frac{(-1)^{k}}{2 k}+\frac{1}{(2 k)^{2}-1}\right]$ ．
兰州大学 2001北京航空航天大学 2001兰州大学 2002天津大学 2002西安电子科技大学 2002中国地质大学 2003天津大学 2003北京交大 2004
+31
第8题求解题
8．求下列幂级数的和函数或数项级数的和．
（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n+1}}{n(n+1)}$ 或 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{x^{n+1}}{n(n+1)}$ ，
（2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{x^{n+1}}{n(n+1) 3^{n+1}}$ ．
（3）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}(n+2)}{n(n+1)}$ ．
（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n+1}}{n(n+1)}$ 或 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{x^{n+1}}{n(n+1)}$ ，
（2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{x^{n+1}}{n(n+1) 3^{n+1}}$ ．
（3）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}(n+2)}{n(n+1)}$ ．
武汉大学 1994北京科技大学 1999北京航空航天大学 1999西北大学 1999四川大学 2001首都师范大学 2002电子科技大学 2003华东理工大学 2004
+21
第9题求解题
9．求下列幂级数的和函数或数项级数的和．
（1）$\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty}(-1)^{n} \frac{x^{n+1}}{n^{2}-1}$ ，并求 $\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{2^{n}\left(n^{2}-1\right)}, \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{\left(n^{2}-1\right) 2^{n}}$ ．
（2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n+1}}{n(n+2)}$ ．
（3）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n(n+2)}$ ．
（4）$\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n^{2}+n-2}$ ．
（1）$\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty}(-1)^{n} \frac{x^{n+1}}{n^{2}-1}$ ，并求 $\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{2^{n}\left(n^{2}-1\right)}, \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{\left(n^{2}-1\right) 2^{n}}$ ．
（2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n+1}}{n(n+2)}$ ．
（3）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n(n+2)}$ ．
（4）$\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n^{2}+n-2}$ ．
东华大学 2003广西师范大学 2003福建师范大学 2004上海师范大学 2006华南理工＇ 2006上海财经大学 2007南京航空航天大学 2007南开大学 2008
+3
第10题求解题
10．求下列幂级数的和函数或数项级数的和．
（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2 n-1} x^{2 n-1}$ 或 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2 n+1} x^{2 n+1}$ ．
（2）$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} \frac{2^{n}}{2 n+1} x^{2 n+1}$ ．
（3）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{(2 n-1) 3^{n}} x^{2 n}$ ．
（4）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} x^{2 n}}{n(2 n-1)}$ ．
（5）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{x^{2 n}}{(2 n+1)(n+1)}$ ．
（6）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2 n}-\frac{1}{2 n+1}\right) x^{2 n+1}, ~ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(2 n+1)}$ ．
（7）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n(2 n-1)}\left(\frac{x}{3 x+1}\right)^{2 n}$ ．
（8）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{(x-a)^{2 n+1}}{(2 n)^{2}-1} .(a=1$ ：广西师大 $\displaystyle 2000 ; a=0$ ；武汉理工 2009，昆明理工 2008）
（9）求 数 项 级 数 的 和 ：
（1）$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2 n+1) 3^{2 n+1}}$ ；
（2）$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{2 n+1}$ ；
（3）$\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}\left[\frac{(-1)^{k}}{2 k+1}+\frac{1}{k(k+1)}\right]$ ；
（4）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2 n-1) 2^{n}}$ ．
（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2 n-1} x^{2 n-1}$ 或 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2 n+1} x^{2 n+1}$ ．
（2）$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} \frac{2^{n}}{2 n+1} x^{2 n+1}$ ．
（3）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{(2 n-1) 3^{n}} x^{2 n}$ ．
（4）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} x^{2 n}}{n(2 n-1)}$ ．
（5）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{x^{2 n}}{(2 n+1)(n+1)}$ ．
（6）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2 n}-\frac{1}{2 n+1}\right) x^{2 n+1}, ~ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(2 n+1)}$ ．
（7）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n(2 n-1)}\left(\frac{x}{3 x+1}\right)^{2 n}$ ．
（8）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{(x-a)^{2 n+1}}{(2 n)^{2}-1} .(a=1$ ：广西师大 $\displaystyle 2000 ; a=0$ ；武汉理工 2009，昆明理工 2008）
（9）求 数 项 级 数 的 和 ：
（1）$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2 n+1) 3^{2 n+1}}$ ；
（2）$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{2 n+1}$ ；
（3）$\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}\left[\frac{(-1)^{k}}{2 k+1}+\frac{1}{k(k+1)}\right]$ ；
（4）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2 n-1) 2^{n}}$ ．
郑州大学 1998河海大学 2000广西大学 2002上海大学 2004燕山大学 2004浙江师范大学 2005电子科技大学 2005兰州大学 2006
+13
第11题求解题
11．求级数的和．
（1）$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{3 n+1}$ ．
（2）$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{3 n-2}$ ．
（3）$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{3 n+2}$ ．
（1）$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{3 n+1}$ ．
（2）$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{3 n-2}$ ．
（3）$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{3 n+2}$ ．
北京师范大学 1995大连理工大学 2005山东大学 2005西北大学 2007南开大学 2014
第12题求解题
12．求下列幂级数的和函数或数项级数的和．
（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+1}{n!} x^{n}$ 或 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n+1}{n!} x^{n}$
（2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n!} x^{n+1}$ ．
（3）$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n-1}{n!} x^{2 n}$ ．
（4）$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{2 n+1}{n!} x^{2 n}$ ．
（5）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}}{n!} x^{n}$ ．
（6）$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n^{2}+1}{2^{n} n!} x^{n}$ ．
（7）$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n+1}{(n+2)!} x^{n}$ ．
（8）$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n+1}{2^{n} n!} x^{n}$ ．
（9）$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(2 n)!} x^{2 n+1}$ ．
（10）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{2 n+1}{(2 n-1)!} x^{2 n}$ ．
（11）求下列级数的和．
（1）$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n-1}{4^{n} n!}$ ．
（2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n+1) 2^{n}}{n!}$.
（3）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{(n+1) 3^{n}}{n!}$ ．
（4）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(2 n+1)}{n!}\left(\frac{1}{2}\right)^{n} \cdot$ ．
（5）$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n}{(n+1)!}$ ．
（6）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}}{n!}$ 。
（7）$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(n+2) n!}$ ，或 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+2}{n!+(n+1)!+(n+2)!}$
（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+1}{n!} x^{n}$ 或 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n+1}{n!} x^{n}$
（2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n!} x^{n+1}$ ．
（3）$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n-1}{n!} x^{2 n}$ ．
（4）$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{2 n+1}{n!} x^{2 n}$ ．
（5）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}}{n!} x^{n}$ ．
（6）$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n^{2}+1}{2^{n} n!} x^{n}$ ．
（7）$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n+1}{(n+2)!} x^{n}$ ．
（8）$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n+1}{2^{n} n!} x^{n}$ ．
（9）$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(2 n)!} x^{2 n+1}$ ．
（10）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{2 n+1}{(2 n-1)!} x^{2 n}$ ．
（11）求下列级数的和．
（1）$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n-1}{4^{n} n!}$ ．
（2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n+1) 2^{n}}{n!}$.
（3）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{(n+1) 3^{n}}{n!}$ ．
（4）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(2 n+1)}{n!}\left(\frac{1}{2}\right)^{n} \cdot$ ．
（5）$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n}{(n+1)!}$ ．
（6）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}}{n!}$ 。
（7）$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(n+2) n!}$ ，或 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+2}{n!+(n+1)!+(n+2)!}$
北京大学 1998东南大学 2000郑州大学 2000延安大学 2001延安大学 2002厦门大学 2003昆明理工大学 2004湖南师范大学 2004
+24
第13题求解题
13．求下列级数的和函数．
（1）$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\left[\frac{1}{3^{n+1}}-(-2)^{n+1}\right] x^{n}$ ．
（2）$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n+1}}{2 n+1}$ ．
（3）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{4 n-3},(x \geqslant 0)$ ．
（4）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}\right) x^{n}$ ．
（5） $\displaystyle 1+\sum_{n=1}^{x} \frac{(2 n-1)!!}{(2 n)!!} x^{n},(x \geqslant 0)$ ．
（6）$\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{(n-1)^{2}}{n+1} x^{n}$ ，并求 $\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{(n-1)^{2}}{n+1} 3^{-n}$ ．
（1）$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\left[\frac{1}{3^{n+1}}-(-2)^{n+1}\right] x^{n}$ ．
（2）$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n+1}}{2 n+1}$ ．
（3）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{4 n-3},(x \geqslant 0)$ ．
（4）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}\right) x^{n}$ ．
（5） $\displaystyle 1+\sum_{n=1}^{x} \frac{(2 n-1)!!}{(2 n)!!} x^{n},(x \geqslant 0)$ ．
（6）$\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{(n-1)^{2}}{n+1} x^{n}$ ，并求 $\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{(n-1)^{2}}{n+1} 3^{-n}$ ．
东北师范大学 2002西北师范大学 2004深圳大学 2008东南大学 2009兰州大学 2011重庆大学 2013华中师范大学 2014
第14题求解题
14．求下列函数在 $\displaystyle x=0$ 处的幂级数展开式，并求 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{2 n+1}$ 的值．
（1）$\displaystyle f(x)=\arctan x$ ．
（2）$\displaystyle f(x)=\arctan \frac{2 x}{1-x^{2}}$ ．
（3）$\displaystyle f(x)=\arctan \frac{1-x}{1+x}, x \neq 1, f(1)=\frac{\pi}{2}$ ．
（4）$\displaystyle f(x)=\arctan \frac{1-x}{1+x}+\arctan \frac{2 x}{1-x^{2}}$ ．
（5）$\displaystyle f(x)=\arctan \frac{1-2 x}{1+2 x}$ ．
（6）$\displaystyle f(x)=\ln \sqrt{1+x^{2}}-x \arctan x$ ．
分析：本题用 $\displaystyle \arctan \frac{x-y}{1+x y}=\arctan x-\arctan y$ 恒等变形．
（1）$\displaystyle f(x)=\arctan x$ ．
（2）$\displaystyle f(x)=\arctan \frac{2 x}{1-x^{2}}$ ．
（3）$\displaystyle f(x)=\arctan \frac{1-x}{1+x}, x \neq 1, f(1)=\frac{\pi}{2}$ ．
（4）$\displaystyle f(x)=\arctan \frac{1-x}{1+x}+\arctan \frac{2 x}{1-x^{2}}$ ．
（5）$\displaystyle f(x)=\arctan \frac{1-2 x}{1+2 x}$ ．
（6）$\displaystyle f(x)=\ln \sqrt{1+x^{2}}-x \arctan x$ ．
分析：本题用 $\displaystyle \arctan \frac{x-y}{1+x y}=\arctan x-\arctan y$ 恒等变形．
北京大学 1997南京大学 2001安徽师大 2005武汉理工大学 2005浙江大学 2005中国矿业大学 2006云南大学 2007吉林大学 2009
+8
第15题求解题
15．求下列函数在指定点处的幂级数展开式．
（1）$\displaystyle f(x)=\frac{1}{3 x+2}, x_{0}=1$ ．
（2）$\displaystyle f(x)=\frac{x-3}{1+x}, x_{0}=1$ ．
（3）$\displaystyle f(x)=\frac{1}{x(1+x)}, x_{0}=1$ ．
（4）$\displaystyle f(x)=\frac{1}{x^{2}+4 x+3}, x_{0}=1$ ．
（5）$\displaystyle f(x)=\cos x, x_{0}=\frac{\pi}{2}$ ．
（1）$\displaystyle f(x)=\frac{1}{3 x+2}, x_{0}=1$ ．
（2）$\displaystyle f(x)=\frac{x-3}{1+x}, x_{0}=1$ ．
（3）$\displaystyle f(x)=\frac{1}{x(1+x)}, x_{0}=1$ ．
（4）$\displaystyle f(x)=\frac{1}{x^{2}+4 x+3}, x_{0}=1$ ．
（5）$\displaystyle f(x)=\cos x, x_{0}=\frac{\pi}{2}$ ．
东北大学 2001中国矿业大学 2006武汉理工大学 2006桂林电子科技 2007桂林电子科技 2011
第16题求解题
16．求下列函数在 $\displaystyle x=0$ 处的幂级数展开式．
（1）$\displaystyle f(x)=-\frac{x+1}{x-1}$ ．
（2）$\displaystyle f(x)=\frac{x}{1+x-2 x^{2}}$ ．
（3）$\displaystyle f(x)=\frac{x}{(1-x)\left(1-x^{2}\right)}$ ．
（4）$\displaystyle f(x)=\frac{1}{x^{2}-3 x+2}$ ．
（5）$\displaystyle f(x)=\frac{1}{(1+x)\left(1+x^{2}\right)\left(1+x^{4}\right)}$ ．
（6）$\displaystyle f(x)=\frac{1}{(1+x)^{2}}$ 或 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{(1-x)^{2}}$
（1）$\displaystyle f(x)=-\frac{x+1}{x-1}$ ．
（2）$\displaystyle f(x)=\frac{x}{1+x-2 x^{2}}$ ．
（3）$\displaystyle f(x)=\frac{x}{(1-x)\left(1-x^{2}\right)}$ ．
（4）$\displaystyle f(x)=\frac{1}{x^{2}-3 x+2}$ ．
（5）$\displaystyle f(x)=\frac{1}{(1+x)\left(1+x^{2}\right)\left(1+x^{4}\right)}$ ．
（6）$\displaystyle f(x)=\frac{1}{(1+x)^{2}}$ 或 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{(1-x)^{2}}$
河南大学 2003上海理工 2005天津大学 2005大连理工大学 2006太原科技大学 2008郑州大学 2008浙江工业大学 2010浙江理工 2010
+2
第17题计算题
17．求下列函数在 $\displaystyle x=0$ 处的幂级数展开式．
（1）$\displaystyle f(x)=\arcsin x$ ．
（2）$\displaystyle f(x)=x \arccos x$ ，并计算 $\displaystyle f^{(n)}(0)$ ．
（3）$\displaystyle f(x)=\frac{x}{\sqrt{2-x}}$ ．
（4）$\displaystyle \frac{1}{\left(1-x^{2}\right) \sqrt{1-x^{2}}}$ ．
（5）$\displaystyle f(x)=\ln \left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right)$ ．
（6）$\displaystyle f(x)=x \ln \left(\sqrt{1+x^{2}}-x\right)$ ．
（1）$\displaystyle f(x)=\arcsin x$ ．
（2）$\displaystyle f(x)=x \arccos x$ ，并计算 $\displaystyle f^{(n)}(0)$ ．
（3）$\displaystyle f(x)=\frac{x}{\sqrt{2-x}}$ ．
（4）$\displaystyle \frac{1}{\left(1-x^{2}\right) \sqrt{1-x^{2}}}$ ．
（5）$\displaystyle f(x)=\ln \left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right)$ ．
（6）$\displaystyle f(x)=x \ln \left(\sqrt{1+x^{2}}-x\right)$ ．
浙江大学 2001东北大学 2002北京师范大学 2004天津大学 2004扬州大学 2004中国地质大学 2005暨南大学 2007南京航空航天大学 2013
第18题求解题
18．求下列函数在 $\displaystyle x=0$ 处的幂级数展开式．
（1）$\displaystyle f(x)=\int_{0}^{x} \frac{1-\cos t}{t} \mathrm{~d} t$ ．
（2）$\displaystyle f(x)=\int_{0}^{x} \frac{\sin t}{t} \mathrm{~d} t$ ．
（3） $\displaystyle \int_{0}^{x} \cos t^{2} \mathrm{~d} t$ ．
（4）$\displaystyle f(x)=\sin ^{2} x$ ．
（5）$\displaystyle f(x)=\int_{0}^{x} \mathrm{e}^{-t^{2}} \mathrm{~d} t$ ．
（1）$\displaystyle f(x)=\int_{0}^{x} \frac{1-\cos t}{t} \mathrm{~d} t$ ．
（2）$\displaystyle f(x)=\int_{0}^{x} \frac{\sin t}{t} \mathrm{~d} t$ ．
（3） $\displaystyle \int_{0}^{x} \cos t^{2} \mathrm{~d} t$ ．
（4）$\displaystyle f(x)=\sin ^{2} x$ ．
（5）$\displaystyle f(x)=\int_{0}^{x} \mathrm{e}^{-t^{2}} \mathrm{~d} t$ ．
天津大学 2003北京交大 2004华东师范大学 2006安徽师大 2007电子科技大学 2007聊城大学 2008新疆大学 2009西安交大 2009
第19题求解题
19．求函数的幂级数展开式及系数．
（1）$\displaystyle f(x)=\int_{0}^{x} \sin t^{2} \mathrm{~d} t$ ，并求 $\displaystyle f^{(10)}(0)$ 及 $\displaystyle f^{(11)}(0)$ 。
（2）$\displaystyle f(x)=\int_{0}^{x} t \cos t \mathrm{~d} t$ ，并求 $\displaystyle f^{(2005)}(0)$ ．
（3）$\displaystyle f(x)=\sin ^{2}\left(x^{2}+1\right)$ ，并求 $\displaystyle f^{(n)}(0),(n=1,2,3, \cdots)$ ．
（1）$\displaystyle f(x)=\int_{0}^{x} \sin t^{2} \mathrm{~d} t$ ，并求 $\displaystyle f^{(10)}(0)$ 及 $\displaystyle f^{(11)}(0)$ 。
（2）$\displaystyle f(x)=\int_{0}^{x} t \cos t \mathrm{~d} t$ ，并求 $\displaystyle f^{(2005)}(0)$ ．
（3）$\displaystyle f(x)=\sin ^{2}\left(x^{2}+1\right)$ ，并求 $\displaystyle f^{(n)}(0),(n=1,2,3, \cdots)$ ．
北京化工 2005北京大学 2005深圳大学 2005
第20题求解题
20．求下列函数的麦克劳林展开式．
（1）$\displaystyle f(x)=2^{x}$ ．
（2）$\displaystyle f(x)=\frac{\mathrm{e}^{x}}{2-2 x}$ ，并求出 $\displaystyle f^{(n)}(0)$ ．
（3）$\displaystyle g(x)=\frac{f(x)}{1-x}$ ，其中 $\displaystyle f(x)$ 的 Taylor 展开式为 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 。
（4）$\displaystyle f(x)=\int_{0}^{x} \mathrm{e}^{x^{2}-t^{2}} \mathrm{~d} t$ ．
（1）$\displaystyle f(x)=2^{x}$ ．
（2）$\displaystyle f(x)=\frac{\mathrm{e}^{x}}{2-2 x}$ ，并求出 $\displaystyle f^{(n)}(0)$ ．
（3）$\displaystyle g(x)=\frac{f(x)}{1-x}$ ，其中 $\displaystyle f(x)$ 的 Taylor 展开式为 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 。
（4）$\displaystyle f(x)=\int_{0}^{x} \mathrm{e}^{x^{2}-t^{2}} \mathrm{~d} t$ ．
武汉理工大学 2004深圳大学 2008华东师范大学 2010西南大学 2011
第21题求解题
21．求下列函数的麦克劳林展开式．
（1）$\displaystyle f(x)=(1+x) \ln (x+1)$ ．
（2）$\displaystyle f(x)=\ln \left(1-x-2 x^{2}\right)$ ．
（3）$\displaystyle f(x)=\ln \left(2+x^{2}\right)$ ．
（4）$\displaystyle f(x)=\int_{0}^{x} \frac{\ln (1+t)}{t} \mathrm{~d} t$ ．
（5）$\displaystyle f(x)=\int_{0}^{x} \frac{1}{t} \ln \left(\frac{1+t}{1-t}\right) \mathrm{d} t$. ．深圳大学 2009）
（6）$\displaystyle f(x)=\ln \left(1+x+x^{2}\right)$ ．
（1）$\displaystyle f(x)=(1+x) \ln (x+1)$ ．
（2）$\displaystyle f(x)=\ln \left(1-x-2 x^{2}\right)$ ．
（3）$\displaystyle f(x)=\ln \left(2+x^{2}\right)$ ．
（4）$\displaystyle f(x)=\int_{0}^{x} \frac{\ln (1+t)}{t} \mathrm{~d} t$ ．
（5）$\displaystyle f(x)=\int_{0}^{x} \frac{1}{t} \ln \left(\frac{1+t}{1-t}\right) \mathrm{d} t$. ．深圳大学 2009）
（6）$\displaystyle f(x)=\ln \left(1+x+x^{2}\right)$ ．
中南大学 2003重庆师大 2003西电 2006武汉科技大学 2007桂林电子工大 2008暨南大学 2012
第22题证明题
22．试证明 $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{1}{x} \ln \frac{1+x}{1-x} \mathrm{~d} x=2 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2 n-1)^{2}}=\frac{\pi^{2}}{4}$ ．
华南理工大学 2004
第23题求解题
23．求下列函数在指定点处的幂级数展开式．
（1）$\displaystyle f(x)=\ln \left(4 x-x^{2}\right), x=1$ ．
（2）$\displaystyle f(x)=\ln x, x=2$ ．
（3）$\displaystyle f(x)=\ln x+\frac{1}{x+2}, x=1$ ．
（1）$\displaystyle f(x)=\ln \left(4 x-x^{2}\right), x=1$ ．
（2）$\displaystyle f(x)=\ln x, x=2$ ．
（3）$\displaystyle f(x)=\ln x+\frac{1}{x+2}, x=1$ ．
东南大学 2004云南大学 2004广西师范大学 2011
第24题求解题
24．将下列函数展开为幂级数，并指出收玫域．
（1）$\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{x}{1-x}\right)^{n}$ ．
（2）$\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} x^{n}(2 x-1)^{n}$ ．
分析：先求幂级数的和函数，然后再展开幂级数
（1）$\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{x}{1-x}\right)^{n}$ ．
（2）$\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} x^{n}(2 x-1)^{n}$ ．
分析：先求幂级数的和函数，然后再展开幂级数
华中科技 2000华中科技 2003
第25题求解题
25．求级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n\left(\frac{x}{3}\right)^{n-1}$ 的收玫域及其和函数 $\displaystyle S(x)$ ，再将 $\displaystyle S(x)$ 展开成 $\displaystyle (x-2)$ 的幂级数，并求展开后所得幂级数的收玫半径和收玫区间．
延安大学 2001
第26题证明题
26．设数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 满足 $\displaystyle \left|a_{n}\right| \leqslant n^{\sqrt{n}}, n=1,2, \cdots$ ．证明：（1）$\displaystyle \varlimsup_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\left|a_{n}\right|} \leqslant 1$ ；（2）幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} r^{n}$ 的收敛半径 $\displaystyle R \geqslant 1$ ；（3）级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{2^{n}}$ 收玫．
重庆大学．北京工大 2003重庆大学．北京工大 2007
第27题求解题
27．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上二阶可导，且满足 $\displaystyle f^{n}(0)>0$ 和 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{f(x)}{x}=0$ ．令 $\displaystyle a_{n}=f\left(\frac{1}{n}\right)$ ，求 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 的收敛域．
分析： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{f(x)}{x}=0$ 是一重要隐含条件： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{f(x)}{x}=0 \Leftrightarrow f(0)=0, f^{\prime}(0)=0$ ．
分析： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{f(x)}{x}=0$ 是一重要隐含条件： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{f(x)}{x}=0 \Leftrightarrow f(0)=0, f^{\prime}(0)=0$ ．
华中科技 2007
第28题未分类
28．若级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} a_{n}$ 收敛，则幂级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上一致收敛，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 1} \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}$ ．
中科院武汉所 1999
第29题证明题
29．设 $\displaystyle a_{n}>0, n \geqslant 0, S(x)=\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 的收玫半径为1．证明：如果 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 1^{-}} S(x)=S$ ，则级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫且和为 S．
温州大学 2008
第30题未分类
30．设 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 在 $\displaystyle |x|<R$ 内收玫，若 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{a_{n}}{n+1} R^{n+1}$ 也收敛，则 $\displaystyle \int_{0}^{R} f(x) \mathrm{d} x=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{a_{n}}{n+1} R^{n+1}$ ．应用这个结果证明：（1） $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{1}{1+x} \mathrm{~d} x=\ln 2=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{1}{n}$ ；（2） $\displaystyle \int_{0}^{1} \ln \frac{1}{1-x} \cdot \frac{\mathrm{~d} x}{x}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}$
东南大学 2000湖北大学 2002华中科技 2004首都师范大学 2004北京理工大学 2005福州大学 2009华中科技 2011
第31题求解题
31．设正项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 发散，$\displaystyle A_{n}=\sum_{k=1}^{n} a_{k}$ ，且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}}{A_{n}}=0$ ，求幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 的收敛半径．
燕山大学 2007华中科技 2009
第32题证明题
32．证明下列结论．
（1）设数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 有极限 $\displaystyle L$ ，证明：（1）$\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 在 $\displaystyle (-1,1)$ 上有定义；（2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 1}(1-x) f(x)=L$ ．
（2）设数列 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=a$ ．证明：（1）级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 的收玫半径 $\displaystyle R \geqslant 1$ ；（2）设 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ ，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 1^{+}}(1-x) f(x)=a$ ；（3） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 1^{+}}(1-x) \int_{0}^{x} \frac{f(t)}{1-t}=a$ ．
（1）设数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 有极限 $\displaystyle L$ ，证明：（1）$\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 在 $\displaystyle (-1,1)$ 上有定义；（2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 1}(1-x) f(x)=L$ ．
（2）设数列 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=a$ ．证明：（1）级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 的收玫半径 $\displaystyle R \geqslant 1$ ；（2）设 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ ，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 1^{+}}(1-x) f(x)=a$ ；（3） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 1^{+}}(1-x) \int_{0}^{x} \frac{f(t)}{1-t}=a$ ．
苏州大学 2005苏州大学 2009广西师范大学 2010中国科学技术大学 2014
第33题证明题
33．设 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 在 $\displaystyle x=1$ 有定义，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left|a_{n}\right|$ 发散。已知极限 $\displaystyle l=\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\left|2 a_{n}\right|}$ 存在，求 $\displaystyle l$ ，并证明级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上一致收敛．
华中科技 2006
第34题证明题
34．证明下列结论．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n^{2}}$ 定义在 $\displaystyle [0,1]$ 上，证明：它在 $\displaystyle (0,1)$ 上满足方程：
$$
f(x)+f(1-x)+\ln x \cdot \ln (1-x)=f(1)=\frac{\pi^{2}}{6},(0<x<1)
$$
（2）求幂级数 $\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{(1-x)^{n}}{n(n-1)}$ 的收玫域．如果其和函数是 $\displaystyle S(x)$ ，证明：$\displaystyle x \in(0,1)$ 时，有
$$
S(x)+x \ln x+S(1-x)+(1-x) \ln (1-x)=1 . \text {
$$
（1）设函数 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n^{2}}$ 定义在 $\displaystyle [0,1]$ 上，证明：它在 $\displaystyle (0,1)$ 上满足方程：
$$
f(x)+f(1-x)+\ln x \cdot \ln (1-x)=f(1)=\frac{\pi^{2}}{6},(0<x<1)
$$
（2）求幂级数 $\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{(1-x)^{n}}{n(n-1)}$ 的收玫域．如果其和函数是 $\displaystyle S(x)$ ，证明：$\displaystyle x \in(0,1)$ 时，有
$$
S(x)+x \ln x+S(1-x)+(1-x) \ln (1-x)=1 . \text {
$$
中国石油大学 2006太原科技大学 2006江苏大学 2006湖南大学 2006山东大学 2007北京工业大学 2010山东大学 2010中山大学 2011
第35题证明题
35．设 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 的系数满足：$\displaystyle a_{n+2}+c_{1} a_{n+1}+c_{2} a_{n}=0, n \geqslant 0$ ，其中 $\displaystyle c_{1}, c_{2}$ 为常数，$\displaystyle a_{0}=1, a_{1}=-7$ ， $\displaystyle a_{2}=-1, a_{3}=-43$ ．又 $\displaystyle S(x)$ 是幂级数的和函数．证明：（1）$\displaystyle S(x)=\frac{1-8 x}{(1-3 x)(1+2 x)}$ ；（2）求幂级数的收敛半径；（3）求 $\displaystyle a_{n}$ 的表达式．
中南大学 2011
第36题证明题
36．设 $\displaystyle a_{n}>0, \sum_{n=0}^{\infty} a_{n}=1$ ，定义函数 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}-x$ ，证明：（1）$\displaystyle f(x)$ 是 $\displaystyle [0,1]$ 内的下凸函数； （2）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1)$ 内有根的充要条件是 $\displaystyle f^{\prime}(1)>0$ ．
中南大学 2008
第37题证明题
37．证明下列结论．
（1）若幂级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 在 $\displaystyle (-1,1)$ 内收玫于 $\displaystyle f(x)$ ．设 $\displaystyle 0 \neq x_{n} \in(-1,1)$ 满足 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=0$ 和 $\displaystyle f\left(x_{n}\right)=0$ ， $\displaystyle n=1,2, \cdots$ ，则对所有 $\displaystyle x \in(-1,1), f(x)=0$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 的收敛区间为 $\displaystyle (-R, R)$ ，若数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 满足 $\displaystyle R>x_{1}>x_{2}>\cdots>0$ 且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=0, f\left(x_{n}\right)=0, n=1,2, \cdots$ ，证明：$\displaystyle a_{n}=0$ 。
（3）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-1,1)$ 上无穷次可微，且 $\displaystyle \forall n, \exists M>0$ ，使 $\displaystyle \left|f^{(n)}(x)\right| \leqslant M, f\left(\frac{1}{n}\right)=0$ ，则
$\displaystyle f(x)=0, x \in(-1,1)$ ．
（4）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上无限次可微，且存在 $\displaystyle M>0$ 使得 $\displaystyle \left|f^{(k)}(x)\right| \leqslant M$ ， $\displaystyle x \in(-\infty,+\infty), k=1,2, \cdots . f\left(\frac{1}{2^{n}}\right)=0, n=1,2, \cdots$ ．证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上恒为零．
（1）若幂级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 在 $\displaystyle (-1,1)$ 内收玫于 $\displaystyle f(x)$ ．设 $\displaystyle 0 \neq x_{n} \in(-1,1)$ 满足 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=0$ 和 $\displaystyle f\left(x_{n}\right)=0$ ， $\displaystyle n=1,2, \cdots$ ，则对所有 $\displaystyle x \in(-1,1), f(x)=0$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 的收敛区间为 $\displaystyle (-R, R)$ ，若数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 满足 $\displaystyle R>x_{1}>x_{2}>\cdots>0$ 且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=0, f\left(x_{n}\right)=0, n=1,2, \cdots$ ，证明：$\displaystyle a_{n}=0$ 。
（3）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-1,1)$ 上无穷次可微，且 $\displaystyle \forall n, \exists M>0$ ，使 $\displaystyle \left|f^{(n)}(x)\right| \leqslant M, f\left(\frac{1}{n}\right)=0$ ，则
$\displaystyle f(x)=0, x \in(-1,1)$ ．
（4）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上无限次可微，且存在 $\displaystyle M>0$ 使得 $\displaystyle \left|f^{(k)}(x)\right| \leqslant M$ ， $\displaystyle x \in(-\infty,+\infty), k=1,2, \cdots . f\left(\frac{1}{2^{n}}\right)=0, n=1,2, \cdots$ ．证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上恒为零．
南京理工大学 2005河海大学 2005南京大学 2006湖南大学 2009
第38题求解题
38．求解下列问题．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在闭区间 $\displaystyle [0,2]$ 上连续且恒正，$\displaystyle a_{n}=\int_{0}^{2} x^{n} f(x) \mathrm{d} x$ ．求函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{a_{n}}$ 的收玫域．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 为 $\displaystyle [1,2]$ 上的正值连续函数，令 $\displaystyle M_{n}=\int_{1}^{2} x^{n} f(x) \mathrm{d} x$ ，证明幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{M_{n}} x^{n}$ 的收敛半径 $\displaystyle R$ 满足 $\displaystyle 1 \leqslant R \leqslant 2$ 。
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在闭区间 $\displaystyle [0,2]$ 上连续且恒正，$\displaystyle a_{n}=\int_{0}^{2} x^{n} f(x) \mathrm{d} x$ ．求函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{a_{n}}$ 的收玫域．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 为 $\displaystyle [1,2]$ 上的正值连续函数，令 $\displaystyle M_{n}=\int_{1}^{2} x^{n} f(x) \mathrm{d} x$ ，证明幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{M_{n}} x^{n}$ 的收敛半径 $\displaystyle R$ 满足 $\displaystyle 1 \leqslant R \leqslant 2$ 。
湖南大学 2002上海交大 2007